三角函数之和差角公式

前置点1：内错角定理
前置点2：三角函数奇偶性，即: $ \cos (-\theta)=\cos \theta, \enspace \sin (-\theta)=-\sin \theta $

如上图，
设\(AB\)为1，四边形\(ADEF\)为正方形，\(\Delta ABC\)为直角三角形。
设 \(\angle CAB\)为 \(\alpha\)，\(\angle CAD\) 为 \(\beta\) 。
因为\(EF\)平行于\(AD\)， \(\angle BAD\) 与 \(\angle ABE\) 互为内错角.
据前置点1，\(\angle ABE =\angle BAD= \alpha+\beta\) 。

\[\begin{eqnarray}标一:\enspace \cos \beta=\frac{AD}{\cos \alpha} \\ \\ AD=\cos \beta \cos \alpha \\ \\ \\ 标二:\enspace \sin \beta=\frac{CD}{\cos \alpha} \\ \\ CD=\sin \beta \cos \alpha \\ \\ \\ 标三:\enspace \angle ACD+\angle A C B+\angle F C B=180^{\circ} \\ \\ \because \angle A C D=\left(90^{\circ}-\beta\right) \\ \angle ACB=90^{\circ} \\ \left(90^{\circ}-\beta\right)+90^{\circ}+\angle F C B=180^{\circ} \\ \therefore \quad \angle FCB=\beta \\ \\ \sin \beta=\frac{F B}{\sin \alpha} \\ \\ FB=\sin \alpha \sin \beta\\ \\ \\旗一: \enspace \cos\beta=\frac{FC}{\sin\alpha} \\ \\ FC=\sin\alpha\cos\beta \\ \\ \\ 旗二: \enspace AE=FD=CF+CD \\ \\ 结果1: \enspace \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \\ \\ \sin(\alpha-\beta)=\sin[\alpha+(-\beta)]=\sin\alpha\cos(-\beta) +\sin(-\beta)\cos\alpha \\ \\ 据前置点2: \\ 结果2: \enspace \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha \\ \\ \\ 旗三: \enspace EB=AD-FD \\ \\ 结果3: \enspace \cos(\alpha+\beta)=\cos\beta\cos\alpha-\sin\alpha\sin\beta \\ \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos[\alpha+(-\beta)]=\cos(-\beta)\cos\alpha -\sin \alpha \sin (-\beta) \\ \\ 结果4: \enspace \cos(\alpha-\beta)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta \end{eqnarray} \]